công bội của cấp số nhân

Bạn đang xem: công bội của cấp số nhân

Cấp số nhân là một trong mặt hàng số vô hạn hoặc hữu hạn thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhị được gọi là cung cấp số nhân. Mỗi số hạng đều ngay số hạng đứng trước ngay lập tức nó nhân với một trong những hạng ko thay đổi. Số hạng ko thay đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Công thức truy hồi:

Nếu (Un) là cung cấp số nhân với q là công bội, tớ đem công thức:

Ví dụ: Dãy số: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,….là một trong cung cấp số nhân thành phần trước tiên là một với công bội q = 2. => Sự thay cho thay đổi của cung cấp số nhân tuỳ theo đuổi độ quý hiếm của công bội q.

Công bội q của cấp số nhân ( U1) được xem vày công thức:

Ví dụ: Cho cung cấp số nhân (Un) đem (U1) = 4 và (U2) = 8. Tính công bội q?

Trả lời: Công bội q = 8/4 = 2. ( vận dụng công thức tính công bội q )

Kết luận: q = 2.

Chú ý:

– Khi q = 0 thì cung cấp số nhân đem dạng: u1, 0, 0,…

– Khi q = 1 thì cung cấp số nhân là mặt hàng số ko thay đổi đem dạng: u1, u1, u1,…

– Khi q < 0 thì cung cấp số nhân là mặt hàng số ko tăng, ko hạn chế.

– Khi q > 0 và q < 1 thì cung cấp số nhân là mặt hàng số hạn chế.

– Khi q > 1 thì cung cấp số nhân là mặt hàng số tăng.

– Khi u1 = 0, với từng q thì cung cấp số nhân đem dạng: 0, 0, 0, …

Ví dụ: Cho cung cấp số nhân ( Un) với u1 = 6, q = 8. Tính u2?

Trả lời: Ta có: u2 = q.u1 = 8.6 = 48 => u2 = 48.

Kết luận: ( u2) = 48.

2. Số hạng tổng quát tháo của cung cấp số nhân:

Số hạng tổng quát tháo (Un) được xác lập vày công thức sau: ( Cấp số nhân đem số hạng đầu (u1) và công bội q ).

Với n ≥ 2

Ví dụ: Cho cung cấp số nhân (Un) đem (u1) = 2, q = 5. Tính (u6)

Trả lời: u6 = u1.q^6-1 = 2.5^4 = 1250.

Kết luận: (u6) = 1250.

3. Tính hóa học của cung cấp số nhân:

Trong một cung cấp số nhân, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều là tích của nhị số hạng đứng kề với nó.

Ví dụ: Cho tư số a, 10, đôi mươi, b theo đuổi trật tự ê lập trở nên một cung cấp số nhân. Tìm a và b?
Trả lời: Ta có: 10^2 = a.đôi mươi <=> đôi mươi = a.đôi mươi => a = 1.

20^2 = 5.b <=> 40 = 5.b => b = 6.

Kết luận: a = 1 và b = 6.

4. Tổng n số hạng đầu tiên:

Cho cung cấp số nhân (Un) đem công bội q không giống 1, tớ có:  Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un

Ví dụ: Cho cung cấp số nhân (Un) với (u1) = 6 và q = 3. Tính S10?

Trả lời: Ta có: S10 = u1( 1- q^10)/ (1 – q)

<=> S10 = 6( 1 – 3^10 )/ (1-3)

<=> S10 = 6( 3^10 -1)/ 2 ( vận dụng công thức tính tổng cung cấp số nhân )

5. Tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn:

Cho cung cấp số nhân lùi vô hạn (Un) đem công bội q với công bội q thoả mãn ĐK 1 < q < 1 thì được gọi là cung cấp số nhân lùi vô hạn.

Ta đem tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn S bằng:

Ví dụ: Tính tổng cung cấp số nhân lùi vô hạn (Un), đem Un = 1/3^n.

Trả lời: Ta có: u1 = 50% và u2 = 1/9 => công bội q = 1/3

Kết luận: S = u1/ (1 – q) = 1/3 : ( 1 – 1/3) = 50%.

6. Các dạng bài xích luyện toán của cung cấp số nhân:

6.1. Dạng 1: Nhận biết cung cấp số nhân.

Phương pháp giải:

– Tính công bội q vày công thức:  q = (Un + 1)/ Un (điều khiếu nại ∀ n ≥ 1)

– Nếu q là số ko thay đổi thì tóm lại rằng mặt hàng (Un) là cung cấp số nhân. Nếu q thay cho thay đổi theo đuổi n thì tóm lại rằng mặt hàng (Un) ko là cung cấp số nhân:

Ví dụ: Cho cung cấp số nhân (Un) đem số hạng trước tiên u1 = 8, công bội q = 3. Tìm số hạng loại 2?

A. 54

B. 44

C. 34

D. 24.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức cung cấp số nhân Un + 1 = u1.q

Thay u1 = 8 và q = 3 nhập công thức bên trên, tớ có: u2 = 8.3 = 24.

Kết luận: Đáp án A. 24 là chính.

6.2. Dạng 2: Chứng minh cung cấp số nhân:

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Ba số hạng u_{k – 1} ; u_k ; u_{k + 1} là tía số hạng tiếp tục của cung cấp số nhân <=>

Ví dụ 1: Tìm a và b sao cho những số 5a – b; 2a + 3b; a + 2b lập trở nên cung cấp số nằm trong và những số (b + 1)² ; ab + 1 ; (a – 1)² lập trở nên cung cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Theo bài xích rời khỏi tớ đem những số 5a – b; 2a + 3b; a + 2b lập trở nên cung cấp số cộng

=> Ta có: 2(2a + 3b) = 5a – b + a + 2b

<=> 4a + 6b = 6a + b

<=> 2a = 5b

Theo bài xích rời khỏi tớ đem những số (b + 1)² ; ab + 1 ; (a – 1)² lập trở nên cung cấp số nhân

=> Ta có: (ab + 1)²   = (b + 1)²(a – 1)²  

<=> [ ab + 1 + (b +1)(a – 1) ] [ ab + 1 – (b +1)(a – 1)] = 0

<=> (2ab – b + a)(2 + b – a) = 0

Xem thêm: trắc nghiệm sinh 11 bài 44

<=> (4 + 2b – 2a) (4ab + 2a – 2b) = 0

Thay 2a = 5b nhập (4 + 2b – 2a) (4ab + 2a – 2b) = 0 tớ đem như sau:

( 4 + 2b – 5b )( 4ab + 5b – 2b ) = 0

<=> b( 4 – 3b )( 10b + 3 ) = 0

<=> b = 0; b = 4/3; b = -3/10 và a = 0; a = 10/3; a = -3/4

Kết luận ( a; b) ∈ { ( 0; 0 ); ( 10/3 ; 4/3 ); ( -3/4 ; -3/10) }

Ví dụ 2: Chứng minh rằng tía số x, nó, z là một trong cung cấp số nhân sao mang lại tía số 2/(x – y) = 1/y = 2/(b – z) lập trở nên một cung cấp số nằm trong ?

Theo bài xích rời khỏi tía số 2/(x – y) = 1/y = 2/(b – z) lập trở nên một cung cấp số cộng

Ta có: 2/(x – y) + 2/(y – z) = 2/y

<=> y( y- z + nó – x ) = ( nó – x )( nó – z )

<=> y^2 = xz

Kết luận: Ba số x, nó, z lập trở nên một cung cấp số nhân.

6.3. Dạng 3: Tìm ĐK của thông số nhằm cỗ số lập trở nên một cung cấp số nhân:

Phương pháp giải:

– Với ĐK xz = y^2 thì tía số x, nó, z lập trở nên một cung cấp số nhân.

– Với ĐK xz = y^2 và yh = z^2 thì tư số x, nó, z, h lập trở nên một cung cấp số nhân.

Ví dụ 1: Tìm ĐK của x sao mang lại phương trình: ax2+ bx2 + cx + d = 0, với a ≠ 0  đem 3 nghiệm phân biệt  là x1, x2, x3 lập trở nên cung cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:
Giả sử phương trình đem tía nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập trở nên cung cấp số nhân => x1x3 = (x2)^2 ( Điều khiếu nại đầy đủ )
Ta có: x1 + x2 + x3 = – b/a và  x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a
<=> x1x2 + x2x3 + (x2)^2 = c/a
<=> x2 (x1 + x2 + x3) = c/a
<=> x2 = – c/b.
Thay số x2 = – c/b nhập phương trình ax2+ bx2 + cx + d = 0, với a ≠ 0  tớ có:

a(-c/b)^3 + b(-c/b)^2 + c(-c/b) + d = 0

<=> a/c^3 = b^3/d. ( Điều khiếu nại đầy đủ )

=> Phương trình đem nghiệm x2 = –c/b.

Khi đó: x2( x1 + x2 + x3 ) = (-c/b) (-b/a) = c/a = x1x2 + x2x3 + x3x1
<=> x1x3 = x22

<=> x1, x2, x3 lập trở nên cung cấp số nhân.

Kết luận: Vậy ĐK cần thiết và đầy đủ nhằm phương trình: ax2+ bx2 + cx + d = 0, với a ≠ 0  đem 3 nghiệm phân khác hoàn toàn trở nên cung cấp số nhân là a/c^3 = b^3/d.

Lưu ý: Với dạng vấn đề mò mẫm một thông số m, nhập ĐK đầy đủ rất có thể xác định bằng sự việc chỉ ra rằng nghiệm ví dụ của phương trình. Bởi khi ê tớ còn cần xác định phương trình tiếp tục mang lại đem 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2: Để tía số a – 2, a – 4, a + 2 lập trở nên một cung cấp số nhân. Vậy x vày bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Để tía số a – 2, a – 4, a + 2 lập trở nên một cung cấp số nhân thì cần đem ĐK là:
(a – 4)^2 = (a – 2)(a + 2)
<=> 8a = 20
<=> a = 52.
Kết luận: Vậy với ĐK a = 52 thì tía số a – 2, a – 4, a + 2 lập trở nên một cung cấp số nhân.

6.4. Dạng 4: Tìm những thành phần của một cung cấp số nhân (u_n):

Phương pháp giải:

– Dãy số (u_n) là một trong cung cấp số nhân khi và chỉ khi (u_n+ 1 u_n)/ u_n = q  ko tùy thuộc vào n và q là công bội của cấp số nhân (u_n)

– Cần xác lập số hạng đầu u1 và công bội q. Ta thiết lập một hệ phương trình với nhị ẩn u­₁ và q. Tìm số hạng đầu u­₁ và công bội q.

– Dựa nhập công thức tổng quát: u_n = u₁ . qn^-1 hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n – 1} . q. Hãy mò mẫm số hạng n?

Ví dụ 1: Cho cung cấp số nhân (u_n) thoả những ĐK sau: u1 + u5 = 51 và u2 + u6 = 102. Hãy:

a) Xác ấn định số hạng trước tiên u1 và công bội q?

b) Xác ấn định công thức tổng quát tháo của cung cấp số nhân (u_n)?

c) Tìm số hạng loại 15, 17, 19 và 21 của mặt hàng cung cấp số nhân (u_n)?

Hướng dẫn giải:

a) Theo bài xích rời khỏi tớ có: u1 + u5 = 51 => u1 + u1.q^4 = 51 <=> u1 ( 1 + q^4 ) = 51

và tớ có: u2 + u6 = 102 => u1.q + u1.q^5 = 102 <=> u1.q ( 1 + q^4 ) = 102

Lấy nhị vế của phương trình u1.q ( 1 + q^4 ) = 102  phân tách mang lại nhị vế của phương trình u1 ( 1 + q^4 ) = 51 tớ đem như sau: [u1.q ( 1 + q^4 )] : [ u1 ( 1 + q^4 ) ] = 102 : 51

<=> q = 2.

=> u1 = 51/( 1 + q^4 ) = 3

Kết luận: số hạng trước tiên u1 = 3 và công bội q = 2.

b) Công thức tổng quát tháo của cung cấp số nhân (u_n) là:

u_n = u₁. q^n–1 nên suy rời khỏi u_n = 3.2^n–1.

c) Số hạng loại 15 của mặt hàng cung cấp số nhân (u_n) là: u₁₅ = 3.2¹⁴ = 49152.

Số hạng loại 17 của mặt hàng cung cấp số nhân  (u_n) là: u₁₇ = 3.2¹⁶ = 196608.

Số hạng loại 19 của mặt hàng cung cấp số nhân  (u_n) là: u₁₉ = 3.2¹⁸ = 786432

Số hạng loại 21 của mặt hàng cung cấp số nhân (u_n) là: u₂₁ = 3.2²⁰ = 3145728.

6.5. Dạng 5: Tính tổng của một cung cấp số nhân:

Phương pháp giải:

Với công bội q không giống 1 nếu như (u_n) là một trong cung cấp số nhân thì tổng n số hạng trước tiên của cung cấp số nhân (u_n) sẽ tiến hành xác lập vày công thức: S_n = [ u1( 1 – q^n )/ ( 1 – q)]

Ví dụ 1: Cho cung cấp số nhân (u_n)  có số hạng tổng quát tháo là: u_n = 2.( –3)^k.

a) Tính S₁₅ Khi cung cấp số nhân (u_n)  có số hạng tổng quát tháo là: u_n = 2.( –3)^k.

b) Tính tổng của toàn bộ những số hạng của cung cấp số nhân (u­_n) khi cung cấp số nhân (u_n) đem số hạng đầu là 18, số hạng loại nhị ê là 54, số hạng cuối vày 39366.

Hướng dẫn giải:

a) Khi cung cấp số nhân (u­_n) đem số hạng tổng quát tháo là: u_n = 2. (– 3)^k => số hạng trước tiên u₁ = 2 và công bội    q = – 3

=> S₁₅ = [ u1( 1 – q^n ]/ (1 – q) = ( 3^15 + 1) / 2.

b) Số hạng trước tiên u₁ = 18

Số hạng loại nhị u2 = 54 => u1.q = 54 => Công bội q = 3

Số hạng cuối u_n = 39366

=>u1.q^(n – 1)= 39366 <=> 18.3^(n – 1) = 39366 => n = 8.

=>  S₈  = [ u1(1 – q)^n]/(1 –  q) = 59040.

Xem thêm: 1996 bao nhiêu tuổi